VUMPS-Strukturfaktor mit Einheitszellen

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•

$m, n$ geht über verschiedene Einheitszellen
•

$j,j^{\prime}$ geht innerhalb der Zelle von $0$ bis $L_{c}-1$
•

$L_{c}$ ist die Zellengröße

\begin{split}\displaystyle s^{\alpha\beta}\left(q\right)&\displaystyle:=\frac{% 1}{\left|\mathbb{Z}\right|}\sum_{m,n\in\mathbb{Z}}\sum_{j,j^{\prime}\in\text{% cell}}e^{-iq\left(nL_{c}-mL_{c}+j-j^{\prime}\right)}\big{<}O^{\beta\dagger}_{n% ,j}O^{\alpha}_{m,j^{\prime}}\big{>}\\ &\displaystyle=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\sum_{j,j^{\prime}\in\text{cell}}e^{-iq% \left(nL_{c}+j-j^{\prime}\right)}\big{<}O^{\beta\dagger}_{n,j}O^{\alpha}_{0,j^% {\prime}}\big{>}\\ &\displaystyle=\sum_{j,j^{\prime}\in\text{cell}}e^{-iq\left(j-j^{\prime}\right% )}\cdot\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-iqnL_{c}}\big{<}O^{\beta\dagger}_{n,j}O^% {\alpha}_{0,j^{\prime}}\big{>}\right)\\ &\displaystyle=:\sum_{j,j^{\prime}\in\text{cell}}e^{-iq\left(j-j^{\prime}% \right)}\cdot s^{\alpha\beta}_{jj^{\prime}}\left(q\right)\end{split}

(1)

Strukturfaktor zwischen Einheitszellen:

s^{\alpha\beta}_{jj^{\prime}}\left(q\right):=\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-iqnL_{c}% }\big{<}O^{\beta\dagger}_{n,j}O^{\alpha}_{0+j^{\prime}}\big{>}

(2)

Zerfällt in $n=0$ , $n>0$ , $n<0$ :

\begin{split}\displaystyle s^{\alpha\beta}_{jj^{\prime}}\left(q\right)&% \displaystyle=\big{<}O^{\beta\dagger}_{0+j}O^{\alpha}_{0,j^{\prime}}\big{>}+% \sum_{n\in\mathbb{N}}e^{-iqnL_{c}}\big{<}O^{\beta\dagger}_{n,j}O^{\alpha}_{0,j% ^{\prime}}\big{>}+\sum_{n\in\mathbb{N}}e^{+iqnL_{c}}\big{<}O^{\beta\dagger}_{-% n,j}O^{\alpha}_{0,j^{\prime}}\big{>}\\ &\displaystyle=\big{<}O^{\beta\dagger}_{nL_{c}+j}O^{\alpha}_{0,j^{\prime}}\big% {>}+\sum_{n\in\mathbb{N}}e^{-iqnL_{c}}\big{<}O^{\alpha\dagger}_{0,j^{\prime}}O% ^{\beta}_{n,j}\big{>}+\sum_{n\in\mathbb{N}}e^{+iqnL_{c}}\big{<}O^{\beta\dagger% }_{0,j}O^{\alpha}_{n,j^{\prime}}\big{>}\\ &\displaystyle=s^{\alpha\beta}_{jj^{\prime},\text{cell}}+s^{\alpha\beta}_{jj^{% \prime},\text{inter}}\left(q\right)\end{split}

(3)

Es wird $s^{\alpha\beta}_{jj^{\prime},\text{inter}}\left(q\right)$ von intercellSF (mehrere $q$ -Werte), intercellSFpoint (ein $q$ -Wert) berechnet. Die volle Transformation geschieht mit SF und SFpoint. Der Faktor $L_{c}$ in der Exponentialfunktion hat vorher gefehlt.

Außerdem scheint die Annahme $\left(O^{\alpha,\beta}\right)^{\dagger}=O^{\alpha,\beta}$ , bzw. $O^{\alpha\dagger}O^{\beta}=O^{\beta\dagger}O^{\alpha}$ getroffen zu werden, da nur das Produkt vorkommt und man die konjugierten Operatoren nicht übergibt. In “Tangent-space methods for uniform matrix product states” (Kap. 2.5) verschwinden dann einfach die Kreuze…

Für $j=j^{\prime}$ muss eigentlich nur ein Term berechnet werden:

s^{\alpha\beta}_{jj,\text{inter}}\left(q\right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\left(e^{% -iqnL_{c}}+e^{+iqnL_{c}}\right)\big{<}O^{\dagger}_{j}O_{j}\big{>}=2\text{Re}% \sum_{n\in\mathbb{N}}e^{-iqnL_{c}}\big{<}O_{j}^{\dagger}O_{j}\big{>}

(4)

Die Gleichheit der Terme sieht man numerisch, wird aber nicht ausgenutzt.

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